relation d'ordre opposé

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relation d'ordre opposé

Message par Admin le Sam 3 Oct - 12:58

Je me suis rendue compte que je n'avais pas détaillé en cours pourquoi, si R est une relation d'ordre sur E, alors l'ordre opposé R' est aussi une relation d'ordre sur E.
Je le détaille ici :
Soit R un ordre sur E. Soit R' l'ordre opposé, ie la relation binaire sur E définie par :
pour tout x,y dans E, xR'y ssi yRx.
Vérifions que R' est bien un ordre sur E :
- R' est réflexive sur E. En effet : soit x dans E, alors xR'x, car xRx, car R est réflexive (car R est une relation d'ordre sur E).
- R' est transitive sur E. En effet : soit x,y,z dans E, supposons que xR'y et yR'z, montrons que xR'z.
Or xR'y et yR'z, donc yRx et zRy, donc zRy et yRx, donc zRx car R est transitive (car R est une relation d'ordre sur E), donc xR'z.
- R' est antisymétrique sur E. En effet : soit x,y dans E. Supposons que xR'y et yR'x et montrons que x=y. Or xR'y et yR'x, donc yRx et xRy, donc y=x (puisque R est antisymétrique, car R est une relation d'ordre sur E).

Donc R' est bien un ordre sur E, puisque R est réflexive, antisymétrique et transitive sur E.

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