Question à propos de l'exercice 23 du TD 23

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Question à propos de l'exercice 23 du TD 23

Message par A. Ladram le Lun 18 Avr - 10:18

Bonjour,
Je bloque sur la question 2 de l'exercice 23 du TD 23. En effet, il est demandé de calculer le degré de f(X^p), où f: P -> P(X + 1) + P(X - 1) + 2 * P(X). Après avoir effectué le calcul de f(X^p) et les simplifications grâce aux binôme de Newton, je touve que f(X^p) est de degré p - 2 si p >= 2, sinon de degré -inf. Le problème, c'est que je n'arrive ni à déterminer une base de Ker f, ni une base de Im f.
Je sens pourtant bien qu'une base de Ker f pourrait être { 1, X } et une base de Im f { X^i / i \in [|0, n - 2|] }. Je pense que j'arriverai à prouver avec le théorème du rang que si la dimension de la base de Ker f est bien de 2, la dimension de Im f sera de n - 1 et donc que la famille proposée est bien génératrice. De même, je pourrai prouver que c'est une base car Im f serait alors égal à R_n-2[X], donc de dimension n - 1, tout comme le cardinal de sa famille génératrice.
Pouvez-vous m'éclairer sur ce problème svp?
Cordialement

A. Ladram

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Re: Question à propos de l'exercice 23 du TD 23

Message par Admin le Lun 18 Avr - 20:34

vous avez écrit à peu près tous les arguments. Il vous manque juste l'argument souligné pour conclure.

Vous avez vérifié que {1,X} est incluse dans Ker(f), or elle est libre, donc dim(Ker(f)) est supérieure ou égale à 2.
Vous avez vérifié que {f(X^2),...,f(X^n)} est une famille de polynômes non nuls, échelonnés en degré, donc libre. Or cette famille est dans Im(f), donc rg(f) est supérieur ou égal à n-1.
Vous avez vérifié que Im(f) est inclus dans R_{n-2}[X], qui est de dimension n-1, donc rg(f) est inférieure ou égale à n-1.

Donc finalement Im(f) est de dimension n-1, donc par le théorème du rang, Ker(f) est de dimension 2.
Donc par argument de dimension Im(f)=R_{n-2}[X] (et sa base canonique est donc base de Im(f)) et {1,X}, étant libre et de cardinal 2 dans Ker(f), est base de Ker(f).

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Re: Question à propos de l'exercice 23 du TD 23

Message par A. Ladram le Mer 20 Avr - 12:55

Bonjour,
Ah d'accord merci.

A. Ladram

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