question sur la question B.1, pb 2, DS6

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question sur la question B.1, pb 2, DS6

Message par Admin le Sam 2 Avr - 18:56

"Bonjour,
Je ne comprends pas comment faire le petit 1 du problème 2 du DS 6. Je suppose que cela est dû au fait que c'est une équation linéaire homogène mais je ne trouve pas comment montrer, par exemple, que l'ensemble des solutions est constitué d'exponentielles.
En effet, dans l'équation E, j'ai remplacé y par e^(ax), puis je simplifie par e^(ax) et je tombe sur le polynôme annulateur. Ensuite, j'applique une méthode similaire à la démonstration du chapitre 11, théorème 20, 1er cas, 2ème sous-cas: je trouve que Vect{xe^(x), e^x, e^2x} est inclus dans S en substituant y dans E par une combinaison linéaire quelconque des 3 vecteurs cités précédemment. Mais je n'arrive pas à prouver l'inclusion contraire... Pourtant, dans la démonstration un des sous-cas du théorème 20 du chapitre 11, il est précisé que l'autre inclusion sera prouvé au second semestre en algèbre linéaire, mais peut-être que le cours n'est pas fini ou bien tout simplement que ne j'y arrive pas."

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Re: question sur la question B.1, pb 2, DS6

Message par Admin le Sam 2 Avr - 19:24

Bonjour, 

dans cette question il faut montrer que S, l'ensemble des solutions sur R de l'équation différentielle homogène E, est inclus dans C^{infini}(R).
Il ne s'agit pas de résoudre E pour donner S explicitement (ça, c'est le but du problème !).
Il faut juste montrer que si y est solution de E sur R, alors y est de classe C^n sur R, pour tout n de N.
On peut le faire par récurrence sur n, en utilisant le fait que y est solution de E, ie que 
y'''=4y''-5y'+2y sur R (si y est C^n, on en déduit que y''' est C^{n-2}, donc y est C^{n+1}...).

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Re: question sur la question B.1, pb 2, DS6

Message par A. Ladram le Dim 3 Avr - 8:52

Bonjour,
Ah oui d'accord merci.

A. Ladram

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